Математика

Тема: Восстановление начала координатного луча и единичного отрезка по координатам

Цель:

1. Показать учащимся рациональный способ восстановления начала координатного луча и единичного отрезка;

2. Повторить арифметические действия с многозначными числами;

3. Развивать логическое мышление.

Оборудование: карточки с заданиями, фотографии, учебники.

Оформление доски:

Классная работа

Сыскное агентство

«Логика + Интуиция»

Фотографии сыщиковhttps://pandia.ru/text/78/605/images/image001_53.gif"> : 1: 8 * 8: 50 * 1

https://pandia.ru/text/78/605/images/image002_13.gif" width="74">.gif" width="62">

I. Организационный момент

1. Сегодня наш класс – это не класс.

Мы открываем агентство у нас.

Будем исследовать, будем искать

Задачи, поставленные, будем решать.

Что такое "сыскное агентство"?

Кто такие сыщики? (синонимы: детективы, исследователи)

Каких литературных героев вы знаете?

3. Исследование фотографии

Из какого произведения?

Может ли сыщик работать один без помощников?

Мы сегодня создали свое сыскное агентство, только оно у нас с математическим уклоном. И назвали мы его «Логика + Интуиция».

Что такое логика?

Что такое интуиция?

"Логика" – наука о законах мышления, ход рассуждений, закономерность чего – нибудь.

"Интуиция" - в переводе с латинского тонкое понимание чего – нибудь, чутье.

В нашем агентстве будет работать 3 группы, во главе со знаменитым сыщиком. Не забывайте, что главное – это взаимопомощь и поддержка. Давайте пригласим наших героев.

4. Представление сыщиков

Я, Шерлок Холмс, господа!

(Кто написал это произведение?)

Я, сыщик Колобок!

Я, сыщик Пинчер старший, лучший сыщик с дипломом!

II. Закрепление пройденного материала.

1. Работа по карточкам для сыщиков.

Вам дается право выбрать себе рабочую группу, но для этого вам необходимо решить первую задачу;

Что вы можете сказать об этой цепочке?

(она состоит из геометрических фигур)

Кто первый справился и выдал больше информации, тот может выбрать рабочую группу.

2. Работа в группах

Ну а сейчас настроимся и попробуем решить первую проблему.

Найти значение выражения.

Повторить название компонентов.

(действия какой ступени выполняются первыми?)

III. Работа над новым материалом.

Давайте продолжим наше исследование, откроем свои записные книжки и впишем число, чтобы не забыть эту дату.

1. Постановка проблемы

А вот и первая проблема, с которой мы постараемся справиться.

а) рассмотрите чертеж

б) что на нем изображено?

Что здесь лишнее? (коорд. луч)

Почему? (отрезок, луч, прямая, ломаная - это геометрические понятия, а координатный луч - алгебраическое)

Что не отмечено на координатном луче? (начало, единичный отрезок)

Что такое отрезок, луч?

2. Работа в тетрадях

Построить корд. луч, отметить начало, ед. отрезок.

3. Работа с учебником

А сейчас давайте откроим учебники, именно он будет подбрасывать нам задачи, с которыми ми должны справиться, а вы – сыщики являетесь координаторами, которые должны помочь каждому в своей группе.

Что изображено в учебнике?

Какие координаты отмечены на координатном луче?

Восстановите начало и единичный отрезок

Какой способ верный?

4.Закрепление.

Построить координатный луч

Выбрать единичный отрезок равный 1см

Отметить точки равные координатам 2, 4 ,6 ,8

5. Физкультминутка

Ну что устали?

Даже таким известным сыщикам нужен отдых

Я буду называть числа, если они четные - встают девочки, если нечетные - мальчики.

42,19, 8, 64, 1160, 500, 913. 0(не натуральное число)

6. Решение задачи

Ой, ребята, кто - то стучится. Нам - письмо. Это от ребят третьего класса. Они отправились в соседнюю деревню, поможем им вернуться.

Решение задачи на движение

Мальчики до деревни прошли пешком 20 км, двигаясь со скоростью 5км в час. А обратно они ехали на велосипеде в 2 раза быстрее. За сколько часов они проедут это расстояние?

Молодцы.

7. Решение системы неравенств

Наше агентство помогает всем, только во всем нужна система. Включите свою логику, пусть поможет вам ваша интуиция, и помогите Шалтаю – Болтаю (откуда взялся этот герой?)

Решение системы неравенств у доски

X > 97 X > 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104

X < 105 X < 104, 103, 102, 101, 100, 99, 98

8. Решение задачи на смекалку

Сыщики – это люди, которые даже отдыхают с пользой для дела, попробуем и мы.

Ты живешь в первом подъезде? (да – остаются квартиры с 1 по 32)

Номер твоей квартиры больше 16? (нет - остаются квартиры с 1 по 16)

Номер твоей квартиры больше 8? (да – остаются квартиры с 8 по 16)

Номер твоей квартиры больше 12? (да – остаются квартиры с 13по 16)

Номер твоей квартиры больше 14? (да – номер Гришиной квартиры 15)

Каково наибольшее количество таких вопросов? (6 вопросов)

9. Дополнительный материал: Решение уравнений

(x - 3)*7 =14 (x + 2)*7 =49

X – 3=14:7 x +2 = 49:7

X – 3 = 2 x + 2 =7

X = 3+2 x = 7 - 2

IV. Итог

Рефлексия деятельности

Что узнали нового?

Подведение итогов

С помощью ровной деревянной рейки две точки A и B можно соединить отрезком (рис. 46 ). Однако этим примитивным инструментом измерить длину отрезка AB не удастся. Его можно усовершенствовать.

На рейке через каждый сантиметр нанесем штрихи. Под первым штрихом нанесем число 0, под вторым − 1, третьим − 2 и т.д. (рис. 47 ). В таких случаях говорят, что на рейку нанесена шкала с ценой деления 1 см. Эта рейка со школой похожа на линейку. Но чаще всего на линейку наносят шкалу с ценой деления 1 мм (рис. 48 ).

Из повседневной жизни Вам хорошо известны и другие измеритильные приборы, имеющие шкалы различной формы. Например: циферблат часов со шкалой деления 1 мин (рис. 49 ), спидометр автомобиля со шкалой деления 10 км/ч (рис. 50 ), комнатный термометр со шкалой деления 1 °C (рис. 51 ), весы со шкалой деления 50 г (рис. 52 ).

Конструктор создает измерительные приборы, шкалы которых конечны, т. е. среди отмеченных на шкале чисел всегда есть наибольшее. А вот математик с помощью воображения может построить и бесконечную шкалу.

Начерти луч OX. Отметим на этом луче какую−нибудь точку E. Напишем над точкой O число 0, а под точкой E − число 1 (рис. 53 ).

Будем говорить, что точка O изображает число 0, а точка E − число 1 . Также принято говорить, что точке O соответствует число 0, а точке E − число 1 .

Отложим вправо от точки E отрезок, равный отрезку OE. Получим точку M, которая изображает число 2 (см. рис. 53 ). Таким же образом отметим точку N, изображающую число 3 . Так, шаг за шагом, получаем точки, которым соответствуют числа 4, 5, 6, ... . Мысленно этот процесс можно продолжать сколько угодно.

Полученную бесконечную шкалу называют координатным лучом , точку O − началом отсчета , а отрезок OE − единичным отрезком координатного луча.

На рисунке 53 точка K изображает число 5 . Говорят, что число 5 является координатой точки K, и записывают K(5 ). Аналогично можно записать O(0 ); E(1 ); M(2 ); N(3 ).

Часто вместо слов "отметим точку с координатой, равной..." говорят "отметим число...".

Лучом называется часть прямой, которая имеет начало и не имеет конца (луч солнца, луч света от фонарика). Рассмотрите рисунок и определите, какие фигуры изображены, чем они похожи, чем отличаются, как их можно назвать. http://bit.ly/2DusaQv

На рисунке изображены части прямой, которые имеют начало и не имеют конца, это лучи, которые можно назвать «о икс».

  • один луч обозначен большими буквами ОХ, а в названии второго одна буква большая, а вторая маленькая Ох;
  • первый луч чистенький, а второй похож на линеечку, так как на нём отмечены числа;
  • на втором луче отмечена буква Е, а под ней число 1;
  • на правом конце этого луча есть стрелочка;
  • возможно, его можно назвать числовой луч.

Второй луч можно назвать числовым лучом Ох:

  • О - начало отсчёта и имеет координату нуль;
  • записывается О (0); читается точка О с координатой нуль;
  • принято под точкой, обозначенной буквой О писать цифру нуль (0);
  • отрезок ОЕ - единичный отрезок;
  • точка Е имеет координату 1 (на чертеже отмечено штрихом);
  • записывается Е (1); читается точка Е с координатой один;
  • стрелочка на правом конце луча указывает направление, в котором ведётся отсчёт;
  • мы ввели новые понятия координаты, значит, луч можно назвать координатным;
  • так как на луче откладываются координаты различных точек, то и справа пишем в названии луча маленькую букву х.

Построение координатного луча

Мы раскрыли понятие координатного луча и терминологию, связанную с ним, значит, должны научиться его строить:

  • строим луч и обозначаем Ох;
  • указываем стрелочкой направление;
  • отмечаем цифрой 0 начало отсчёта;
  • отмечаем единичный отрезок ОЕ (он может быть различной длины);
  • отмечаем координату точки Е цифрой 1;
  • остальные точки друг от друга будут находиться на одинаковом расстоянии, но их не принято наносить на координатный луч, чтобы не загромождать чертёж.

Для наглядного представления чисел принято использовать координатный луч, на котором числа располагаются в порядке возрастания слева направо. Таким образом число, расположенное правее всегда больше числа, расположенного левее на прямой.

Построение координатного луча начинается с точки О, которая называется началом координат. Из этой точки вправо проводим луч и рисуем на его конце стрелку вправо. Точка О имеет координату 0. От нее на луче откладывается единичный отрезок, конец которого имеет координату 1. От конца единичного отрезка откладываем rot один равный ему по длине, на конце которого ставим координату 2 и т. д.

Данная статья посвящена разбору таких понятий, как координатный луч и координатная прямая. Мы остановимся на каждом понятии и подробно рассмотрим примеры. Благодаря этой статье вы сможете освежить свои знания или ознакомиться с темой без помощи преподавателя.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Для того, чтобы определить понятие координатного луча, следует иметь представление о том, что такое луч.

Определение 1

Луч - это геометрическая фигура, которая имеет начало отсчета координатного луча и направление движения. Прямую обычно изображают горизонтально, указывая направление направо.

На примере мы видим, что O является началом луча.

Пример 1

Координатный луч изображается по той же схеме, но существенно отличается. Мы ставим точку отсчета и отмеряем единичный отрезок.

Пример 2

Определение 2

Единичный отрезок - это расстояние от 0 до точки, выбранной для измерения.

Пример 3

От конца единичного отрезка нужно отложить несколько штрихов и сделать разметку.

Благодаря манипуляциям, которые мы проделали с лучом, он стал координатным. Подпишите штрихи натуральными числами в последовательности от 1 - например, 2 , 3 , 4 , 5 ...

Пример 4

Определение 3

– это шкала, которая может длиться до бесконечности.

Зачастую его изображают лучом с началом в точке O , и откладывают единственный единичный отрезок. Пример указан на рисунке.

Пример 5

Мы в любом случае сможем продолжить шкалу до того числа, которое нам необходимо. Вы можете записывать числа как удобно – под лучом или над ним.

Пример 6

Для отображений координат луча могут использоваться как заглавные, как и строчные буквы.

Принцип изображения координатной прямой практически не отличается от изображения луча. Все просто - прочертите луч и дополните до прямой, придав положительное направление, которое указывается стрелочкой.

Пример 7

Проведите луч в противоположную сторону, дополнив его до прямой

Пример 8

Отложите единичные отрезки по примеру, указанному выше

С левой стороны запишите натуральные числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ... с противоположным знаком. Обратите внимание на пример.

Пример 9

Вы можете отметить только начало отсчета и единичные отрезки. Смотрите на примере, как это будет выглядеть.

Пример 10

Определение 4

– это прямая, которая изображается с определенной точкой отсчета, которая принимается за 0 , единичным отрезком и заданным направлением движения.

Соответствие между точками координатной прямой и действительными числами

Координатная прямая может содержать множество точек. Они напрямую связаны с действительными числами. Это можно определить, как взаимно однозначное соответствие.

Определение 5

Каждой точке на координатной прямой соответствует единственное действительное число, а каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой.

Для того, чтобы лучше понять правило, следует отметить точку на координатной прямой и посмотреть, какое натуральное число соответствует отметке. Если эта точка совпадает с началом отсчета, она будет отмечена нулем. Если точка не совпадает с началом отсчета, мы откладываем нужное количество единичных отрезков до тех пор, пока не достигнем указанной отметки. Число, записанное под ней, и будет соответствовать данной точке. На примере, указанном внизу, мы покажем вам это правило наглядно.

Пример 11

Если мы не можем найти точку, откладывая единичные отрезки, следует отмечать также точки, составляющие одну десятую, сотую или тысячную долю единичного отрезка. На примере можно подробно рассмотреть данное правило.

Отложив несколько подобных отрезков, мы сможем получить не только целое, но и дробное число – как положительное, так и отрицательное.

Отмеченные отрезки помогут нам отыскать на координатной прямой необходимую точку. Это могут быть как целые, так и дробные числа. Однако на прямой существуют точки, которые очень сложно найти с помощью единичных отрезков. Этим точкам соответствуют десятичные дроби. Для того, чтобы искать подобную точку, придётся откладывать единичный отрезок, десятую, сотую, тысячную, десятитысячную и другие его доли. Одной точке координатной прямой отвечает иррациональное число π (= 3 , 141592 . . .) .

Множество действительных чисел включается в себя все числа, которые можно записать в виде дроби. Это позволяет выявить правило.

Определение 6

Каждой точке координатной прямой соответствует конкретное действительное число. Разные точки определяют разные действительные числа.

Это соответствие однозначно –каждой точке соответствует определенное действительное число. Но это работает также и в обратном направлении. Мы также можем указать определенную точку на координатной прямой, которая будет относиться конкретному действительному числу. Если число не является целым, то нам необходимо отметить несколько единичных отрезков, а также десятых, сотых долей в заданном направлении. Например, числу 400350 отвечает точка на координатной прямой, в которую из начала отсчета можно попасть, отложив в положительном направлении 400 единичных отрезков, 3 отрезка, составляющих десятую долю единичного, и 5 отрезков – тысячную долю.

Для удобного изображения дроби на координатном луче важно правильно выбрать длину единичного отрезка.

Самый удобный вариант отметить на координатном луче дроби — взять единичный отрезок из стольких клеточек, каков знаменатель дробей. Например, если требуется изобразить на координатном луче дроби со знаменателем 5, единичный отрезок лучше взять длиной в 5 клеточек:

В этом случае изображение дробей на координатном луче не вызовет затруднений: 1/5 — одна клеточка, 2/5 — две, 3/5 — три, 4/5 — четыре.

Если требуется отметить на координатном луче дроби с разными знаменателями, желательно, чтобы число клеточек в единичном отрезке делилось на все знаменатели. Например, для изображения на координатном луче дробей со знаменателями 8, 4 и 2 удобно взять единичный отрезок длиной в восемь клеточек. Чтобы отметить на координатном луче нужную дробь, единичный отрезок разбиваем на столько частей, каков знаменатель, и берем таких частей столько, каков числитель. Чтобы изобразить дробь 1/8, единичный отрезок разбиваем на 8 частей и берем 7 из них. Чтобы изобразить смешанное число 2 3/4, отсчитываем от начала отсчета два целых единичных отрезка, а третий разбиваем на 4 части и берем три из них:

Еще один пример: координатный луч с дробями, знаменатели которых равны 6, 2 и 3. В этом случае в качестве единичного удобно взять отрезок длиной шесть клеточек: